Cách Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp Đường Tròn Hay Nhất, Tứ Giác Nội Tiếp Toán 9

Như các em vẫn biết, Toán học tập là trong những môn quan tiền trọng, chủ yếu trong chương trình học các khối. Vào đó, Toán lớp 9 giúp các em rèn luyện tứ duy, kỹ năng phân tích, giám sát và đo lường và vận dụng kiến thức để triển khai bài tập, đôi khi là nền tảng cho các chương trình học cao hơn ở đằng sau. Trong bài viết ngày hôm nay, loài kiến Guru sẽ reviews đến các em về tứ giác nội tiếp.

Bạn đang xem: Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác nội tiếp là gì?

Đầu tiên, nhằm hiểu hơn về phần kiến thức này, các em yêu cầu nắm được tứ giác nội tiếp là gì?

Định nghĩa.

Một tứ giác bao gồm bốn đỉnh thuộc nằm trên một con đường tròn được hotline là tứ giác nội tiếp con đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ:

Trên đây, loài kiến Guru đã trình làng đến những em kỹ năng về giải toán 9 tứ giác nội tiếp , hi vọng rằng những em sẽ thế chắc kỹ năng và kiến thức để xong tốt đề thi cấp cho 3. Hãy theo dõi các bài viết tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức hữu dụng nữa nhé.

Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải pháp chứng minh tứ giác nội tiếp bằng biện pháp nhắc lại lý thuyết với giải các bài tập toán.

Trước tiên bọn họ cần ôn lại kiến thức về tứ giác nội tiếp (định nghĩa, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Tứ giác gồm bốn đỉnh nằm bên trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp (đường tròn).

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp có những tính chất dưới đây:

1) bao gồm 4 đỉnh cách đều 1 điểm làm sao đó. Điểm đó là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) khi đó OA = OB = OC = OD = R.

2) tất cả tổng 2 góc đối bằng 180°

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800.

3) bao gồm góc kế bên tại một đỉnh bằng góc vào tại đỉnh đối với đỉnh đó.

Cho tứ giác nội tiếp ABCD thì: góc ngoài đỉnh A bằng góc BCD, góc ko kể đỉnh B bằng góc ADC, góc xung quanh đỉnh C bằng góc BAD, góc ngoài đỉnh D bằng góc BAC.

4) 2 góc cùng nhìn 1 cạnh thì bằng nhau

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì: góc DAC = góc DBC; góc DBA = góc ACD; góc CBD = góc CAD; góc BAC = góc CDB.

Các bí quyết chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh tứ giác đó bao gồm một vào những dấu hiệu dưới đây:

1) 4 đỉnh giải pháp đều 1 điểm

Chứng minh mang lại bốn đỉnh của tứ giác biện pháp đều một điểm nào đó

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn trung tâm O &h
Arr; OA = OB = OC = OD

2) gồm tổng 2 góc đối bằng 180°

Chứng minh tứ giác bao gồm tổng 2 góc đối bằng 180°

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°

3) 2 góc nội tiếp thuộc chắn 1 cung bằng nhau

Chứng minh từ nhì đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn &h
Arr; góc DAC = góc DBC thuộc chắn cung DC

4) Tổng 2 góc đối bằng nhau

Nếu một tứ giác bao gồm tổng số đo nhị góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn&h
Arr;góc A + góc C = góc
B +góc
D. Đây là trường hợp đặc biệt của biện pháp thứ 2.

5) Góc xung quanh tại đỉnh bằng góc đối của đỉnh đó

Tứ giác bao gồm góc ko kể tại một đỉnh bằng góc vào tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được vào một đường tròn.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu góc bên cạnh đỉnh A bằng góc C, hoặc góc quanh đó đỉnh B bằng góc D.

6) Tứ giác là những hình đặc biệt

Chứng minh tứ giác là một trong các hình đặc biệt. Nếu tứ giác là:

– Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân nặng là tứ giác nội tiếp.

– Hình thoi, hình bình hành ko là tứ giác nội tiếp.

Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp

Dưới đây là những bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp có lời giải mà lại Gia sư Tiến Bộ muốn chia sẻ với những em.

Bài 1.Cho đường tròn trung ương O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp tuyến AB với AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Bên trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm những đường tròn đó.

Giải

– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) phải góc OME bằng 90º

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) phải góc OBE bằng 90º

Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng chú ý cạnh OE cần tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

– Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) phải góc OMD bằng 90°

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) yêu cầu góc OCD bằng 90°

Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng quan sát cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.

Bài 2.Cho đường tròn trung tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), những đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại p và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải

Ta có:

Có: góc ADB bằng 90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) và (2) suy ra:

&r
Arr; Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3.Qua điểm B nằm ở phía bên ngoài đường tròn (O), vẽ nhì tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là những tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B với N, tia BN nằm giữa nhì tia BC với BO), gọi H là giao điểm của BO cùng CD.

a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất nhì tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính đường tròn (O))

&r
Arr; BO là đường trung trực của CD&r
Arr; BO⊥ CD (1)

△BMC và△BCN có:

Nên△BMC đồng dạng△BCN (g.g)

Do (1) ta có△BCO vuông tại C, đường cao CH:

&r
Arr;

(3)

Từ (2) và (3)&r
Arr; BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên)

△BMO và△BHN có:

&r
Arr;△BMO đồng dạng△BHN (c.g.c)

&r
Arr; Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng chú ý một cạnh).

Bài 4.Cho đường tròn trung khu O cùng điểm M nằm bên cạnh đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E cùng F (ME 2

Mặt khác, hệ thức lượng vào tam giác vuông MCO mang đến ta:

MH.MO = MC2&r
Arr; MA.MB = MH.MO

&r
Arr; Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

Bài 5. cho nửa đường tròn trung khu O đường kính AB = 2R. Gọi C, D là nhị điểm trên nửa đường tròn đó làm sao để cho C thuộc dây AD cùng góc COD bằng 120º. Gọi giao điểm của nhì dây AD và BC và E, giao điểm của những đường thẳng AC với BD là F.

Xem thêm: Hướng dẫn cách diệt virus điện thoại, cách quét virus trên điện thoại an toàn

a. Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nẳm bên trên một đường tròn.

b. Tính nửa đường kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

a. Ta có: C, D thuộc đường tròn nên:

Giải:

Hai điểm C và D cùng quan sát đoạn thẳng sắt dưới một góc bằng nhau bằng 90ºnên 4 điểm C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b. Gọi I là trung điểm EF thì ID = IC là nửa đường kính đường tròn đi qua 4 điểm C, D, E, F nói trên.

Ta có: IC = ID ; OC = OD (bán kính đường tròn trung khu O)

Suy ra IO là trung trực của CD&r
Arr; OI là phân giác của góc COD

Do O là trung điểm AB và tam giác ADB vuông tại D yêu cầu tam giác ODB cân nặng tại O.

Do ID = IF bắt buộc tam giác IFD cân nặng tại I.

Tam giác AFB tất cả hai đường cao AD, BC cắt nhau tại E nên E là trực chổ chính giữa tam giác.

&r
Arr; fe là đường cao thứ ba.

&r
Arr;FE vuông góc AB tại H

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Xét tam giác vuông IDO tất cả góc IDO bằng 60º

Ta có:

Bài 6.Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm vào nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp.

Giải:

a. AF, BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) bắt buộc AF⊥ OF, BD⊥ AB

Hai tam giác vuông AOF và ADB có góc OAF chung

Nên△AOF đồng dạng△ADB (g.g)

Suy ra:

b. Ta có: DB = DF (tính chất nhị tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OF (bán kính)

Nên OD là đường trung trực của BF

Suy ra: OD⊥ BF

Lại gồm góc BKC bằng 90º(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))&r
Arr; Tứ giác KHOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cùng D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của nhì đường chéo cánh AC với BD.

Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Giải:

Ta có:

Vậy, tứ giác AEDM nội tiếp được vào một đường tròn.

Bài 8. mang đến hai điểm A, B cố định và góc x
Ay bằng 60º(B thuộc miền trong góc x
Ay, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H cùng đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minh HK = 2MN

b. Chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Giải:

a. Tứ giác MNKH nội tiếp

&r
Arr;△AMN đồng dạng△AKH (g.g)

Vậy KH = 2MN.

b. Tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn đường kính AB.

&r
Arr; I là trung khu đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN.

(góc ở trọng tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN)

Tứ giác MNKH nội tiếp đường tròn tâm J đường kính HK nên:

Từ (1) với (2) có:

&r
Arr; Tứ giác MINJ nội tiếp được trong đường tròn.

Bài 9.Cho góc vuông x
Oy và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì bên trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ nhị F.

a. Chứng minh bốn điểm: O, A, E, M nằm bên trên 1 đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Giải:

a.

Xét tứ giác OAEM có:

&r
Arr; O, A, E, M cùng thuộc đường tròn.

b. Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra:

Mặt khác: A, C, E, F thuộc thuộc đường tròn (T) suy ra:

Do đó:

Vậy tứ giác OCFM là hình thang.

Bài 10.Cho đường tròn trung tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn trung ương O’ đường kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn trung ương O’ tại D.

a. Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp.

Giải:

a. Ta có: AB⊥ MN (gt)

&r
Arr; I là trung điểm của MN

Mà IA = IC (gt)

Suy ra tứ giác AMCN là hình thoi vì gồm hai đường chéo cánh AC và MN vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b. Có góc ANB bằng 90º&r
Arr; BN⊥ AN

Mà AN // MC (cạnh đối của hình thoi AMCN)

Suy ra
BN⊥ MC (1)

Ta lại có: góc BDC bằng 90º&r
Arr; BD⊥ MC (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 3 điểm N, B, D thẳng hàng.

&r
Arr; góc NDC bằng 90º nhưng mà góc NIC bằng 90º(vì AC⊥ MN)

Suy ra tứ giác NIDC nội tiếp đường tròn đường kính NC.